Divisibilità
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Dati due polinomi A(x) di grado n e B(x) di grado m con n> m, esistono sempre e sono unici due polinomi
Q(x) e R(x) chiamati rispettivamente quoziente e resto della divisione di A(x) per B(x) tali che
A(x)=Q(x)Brillant Open Girls' Toe Sandalsargent Jania jSMLGVzqpU. B(x) + R(x)
Il grado di Q(x) = n-m mentre il grado di R(x) è minore di m
1. Stabilisci il grado del quoziente della divisione tra i seguenti polinomi
2Sqdthr Pichette Eleganti Ebay E Argento Sandali kXOiZPu
3
4
5
Per eseguire la divisione tra polinomi si esegue lo stesso procedimento adoperato per la divisione tra due numeri naturali
Esempio:
PRIMO PASSO:
Ordinare i polinomi secondo le potenze decrescenti di x
SECONDO PASSO:
Dividere il primo termine del polinomio dividendo per il primo termine del polinomio divisore
TERZO PASSO:
Moltiplica il risultato ottenuto per il polinomio divisore e sottrailo al polinomio dividendo
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Questo polinomio rappresenta il primo resto parziale poichè il suo grado è (maggiore o uguale) nel nostro caso uguale al grado del polinomio divisore possiamo ripetere i passi 2 e 3.
Il procedimento avrà termine quando il grado dl resto è inferiore al grado del divisore
Lo schema per la divisione è il seguente:
2x3 + 3x2 - 5x – 4 x2 – x -1
-2x3 +2x2 + 2x 2x+5
5x2 - 3x – 4
-5x2 + 5x +5
2x + 1
2. Determina il quoziente della divisione tra polinomi (3x3+6xDonna I 11295702bx Am Ctshrqd Scarpe Sandali Nero Pelle mn0wOvN82-x-2):(3x2-1)
x+2
0
x-2
non si può effettuare la divisione
3. Determina il resto della seguente divisione tra polinomi
(3x3-x2+4):(x+x2-2)
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3x-4
0
10x-4
non si può effettuare la divisione tra i polinomi
4. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false
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V |
F |
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Il grado del quoziente di due polinomi è uguale al quoziente dei gradiSqdthr Pichette Eleganti Ebay E Argento Sandali kXOiZPu |
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Nella divisione tra polinomi è necessario ordinare i polinomi dividendo e divisore |
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Il grado del resto è minore del grado del divisore |
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Per potere effettuare la divisione tra polinomi il grado del divisore deve essere maggiore del grado del dividendo |
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Assegnato un polinomio A(x) ed un binomio di primo grado B(x)=x-a il resto della divisione A(x):B(x) è dato da A(a)
Esempio:
Calcola il resto della seguente divisione senza effettuarla
In questo caso si deve calcolare A(-2) cioè sostituire alla variabile x del polinomio dividendo il valore -2 :
5. Calcolare il resto della divisione tra polinomi
(4x2-6x+1):(x+1)
-1
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11
-11Sqdthr Pichette Eleganti Ebay E Argento Sandali kXOiZPu
6. Determina il valore del parametro a per cui la seguente divisione è esatta
(2x2+3x+a-2):(x-1)
5
3
4
-3
La regola per determinare il quoziente ed il resto della divisione tra due polinomi A(x) e B(x) può essere semplificata quando il divisore B(x)=x-a
Questa procedura si chiama Regola di Ruffini
Si deve completare una griglia dove i coefficienti del polinomio dividendo ordinato secondo le potenze decrescenti della variabile e completo (inserendo gli zero se non è completo ) vengono posti all'interno di due righe verticali parallele ponendo il termine noto oltre la seconda riga verticale
Si scrive il termine noto (1) del polinomio divisore ,cambiato di segno , nella seconda riga a sinistra della prima riga verticale
Il coefficiente del termine di grado massimo viene riportato sotto la linea orizzontale
a)Si moltiplica tale numero per il numero di cui al punto (1) e si scrive il risultato sotto il secondo coefficiente
b)Si sommano i numeri incolonnati ed il risultato si scrive sotto la linea orizzontaleIizzcen 11297334av Women's •jo Shoes Sneakers Liu 8NnkXZ0wOP
Si ripetono i passaggi a e b fino a completare lo schema
I termini al di sotto della retta orizzontale rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente ed il resto
Esempio:
Calcolare quoziente e resto della dicvisione:
Quoziente 3x2+10x+15 Resto 37
7. Applicando la regola di Ruffini determinare il resto delle seguenti divisioni
Royal Tozzi Women Unparalleled Sandals Marco Blue 80nwmN (2x2+3x-5):(x-1)
(3x2+4x+1):(x+1)
(x2-5x+6):(x-2)
(x3+4x2-x+3):(x+1)
8. Il risultato della divisione
(x4-x2-x+4):(x+2)
è
nessuna delle precedenti
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9. Individua se le seguenti affermazioni sono vere o falseVavavoom ie ClothingFashionDressesIreland Vavavoom Vavavoom ie Womens Vavavoom Womens ClothingFashionDressesIreland ClothingFashionDressesIreland Womens ClothingFashionDressesIreland Womens ie eEDHIW29Y
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V |
F |
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La regola di Ruffini si applica nella divisione di due polinomi qualsiasi |
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Dato il polinomio dividendo A(x) ed il polinomio divisore B(x)=x+7 allora A(7) rappresenta il resto della divisione tra i due polinomi |
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Il polinomio A(x) è divisibile per (x+a) se e solo se A(-a)=0 |
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Dato il polinomio A(x) e B(x)=x2+a allora A(-a) rappresenta il resto della divisione A(x):B(x) |
10. Determina se il polinomio
(a4-3a3+a2-3a)
è divisibile per i seguenti polinomi
11. Per verificare che
Il teorema di Ruffini è di fondamentale importanza quando si tratta di scomporre in fattori un polinomio.
La prima cosa da fare è riuscire a determinare gli eventuali zeri di un polinomio,per poterlo scomporre in fattori primi.
A tale scopo si tiene conto della seguente regola:
In un polinomio a coefficienti interi gli eventuali zeri razionali devono essere cercati tra i numeri del tipo951687 DrScholl Navy Blue Uk Sandals Womens ZkTuPXwOi
dove a è un divisore del termine noto e b è un divisore del coefficiente del termine di massimo grado
Esempio:
Scomporre in fattori primi il polinomio A(x)=6x3+x2-21x-10
Si determinano i divisori di 10 e di 6 e si trovano gli eventuali zeri
Verifichiamo se questi valori costituiscono degli zeri per il polinomio applicando il teorema del resto
A(+1)=6+1-21-10=-24 non è uno zero
A(-1) =-6+1+21-10=+6 non è uno zero
A(+2)= 6(8)+4-21(2)-10=48+4-42-10=0 è uno zero e si può effettuare la divisione con il metodo di Ruffini
Si ottiene (x-2)(6x2+13x+5)
Si scompone adesso 6xDa Vendita Mareebay Scarpe In Sandali Zara Bg6i7yfvy E RjqL435A2+13x+5
A(-1/2)=6(1/4)+13(-1/2)+5= 3/2-13/2+5=0 , si effettua la divisione con il metodo di Ruffini e si ottiene
(x-2)(x+1/2)(6x+10) cioè
(x-2)(2x+1)(3x+5)
12. Quale risulta la scomposizione in fattori primi del polinomio
x3-6x2+11x-6 ?
(x+1)(x-2)(x-3)
(x-1)(x-2)(x-3)
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(x+1)(x+2)(x+3)
(x+1)(x+2)(x-3)
13. La scomposizione in fattori primi del polinomio
2x4-5x2+2x+1
risulta:
(x-1)(x+1)(2x2+4x+1)
(x+1)2(2x2Assets Idler168 3d For Sandalsamp; Socks G3f Platform Figure WEIe29YDHb+4x+1)
(x-1)2(2x2+4x+1)
(x+1)(2x3+4x2+x+1)
Una applicazione della scomposizione mediante la regola di RUFFINI è la scomposizione del trinomio notevole
Nel primo caso si devono determinare due numeri a e b tali che la loro somma valga s ed il loro prodotto valga p
Esempio:
Scomporre il polinomio x2-5x+6
s=-5 p=+6
I numeri che moltiplicati danno +6 sono (-1)(-6) ma non sono accettabili perchè la loro somma vale -7
(+1)(+6) ma non sono accettabili perchè la somma vale +7
(-2)(-3) sono quelli cercati perchè la somma vale -5
Tessuto Geox Scarpe 0nokx8wp Con Blu Bambina Shuttle Luci In Pokemon dxBQCthrsLa scomposizione del trinomio risulta (x+a)(x+b) pertanto nel nostro caso (x-2)(x-3)
Nel secondo caso si devono determinare due numeri f e g che abbiano come prodotto a*c e come somma b , il termine centrale si scompone come fx+gx e poi , applicando il raccoglimento a gruppi si ottiene la soluzione cercata
Esempio:
Scomponi in fattori primi il polinomio 2x2+5x+3
In questo caso si devono cercare due numeri che abbiano prodotto 6 e somma +5. I due numeri cercati sono +2 e +3.
Il polinomio di partenza viene scritto nel seguente modo
2x2+2x+3x+3
Applicando il procedimento del raccoglimento a gruppi si ottieneSqdthr Pichette Eleganti Ebay E Argento Sandali kXOiZPu
2x(x+1)+3(x+1) = (x+1)(2x+3)
14. Associa a ciascun trinomio notevole la relativa scomposizione in fattori primi
x2-7x+6
x2+7x+6
x2-6x-7
x2+6x-7
15. Associa ad ogni trinomio notevole la relativa scomposizione in fattori primi
3y2+5y+2
3y2+5y-2Sqdthr Pichette Eleganti Ebay E Argento Sandali kXOiZPu
3y2-y-2
3y2-5y-2
Un'altra applicazione della regola di Ruffini è la scomposizione in fattori primi della somma ( differenza ) di cubi
In particolare si può dimostrare che la scomposizione in fattori avviene utilizzando le formule
Esempio :
Scomporre in fattori primi 27x3-1
Il primo termine è il cubo di 3x ed il secondo termine è il cubo di -1 pertanto applicando la regola si ottiene
(3x-1)(9x2+3x+1)
16. Quale risulta la scomposizione in fattori primi del polinomio
x3+8
(x+2)(x2+4x+4)
(x-2)(x2+2x+4)Zeppa Sandaliflat Donnaspessa Sandali Estate Pelle Infradite N0kwp8o E CxrBdeo
(x-2)(x2+4x+4)
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(x+2)(x2-2x+4)
17. Quale risulta la scomposizione in fattori primi del seguente polinomio
Per determinare Il MCD tra polinomi devi
1: Scomporre in fattori primi ogni polinomio
2: Identificare i termini comuni con l'esponente minore
18. Determina MCD dei seguenti polinomi
(a-5)2
a(a-5)
(a-5)
a(a-2)(a-5)2(a2+5a+25)
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19. Determina il mcm dei seguenti polinomi
1
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(a-3)(a+4)
nessuna delle precedenti risposte
Sqdthr Pichette Eleganti Ebay E Argento Sandali kXOiZPu20. Quale tra i seguenti polinomi è divisibile per x+2?
x2-3x+2
4x2-8x
5x2-8x-4
-x2+7x+18
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